Aslso erst einmal:
Solange du nicht für Vorstellungsgespräche Sonderurlaub haben willst (der steht einem dafür zu afaik), hat es deinen Chef absolut nicht zu interessieren, ob du dich wo bewirbst oder nicht.
Wenn du eine Zusage hast, einfach fristgerecht kündigen, oder aber, falls die neue Firma dich schnellstmöglich haben will, mit deinem Chef über einen Aufhebungsvertrag reden. Wenn er dem so nicht zustimmt, kann es manchmal auf helfen, falls die neue firma eine "Ablöse" anbietet. Quasi für den Arbeitskraftausfall von dir.
Viele Arbeitgeber haben nichts gegen Aufhebungsverträge, solange man seine Pflichten erfüllt und eine korrekte Übergabe (falls erforderlich) stattfindet.
Sie gehen oft davon aus, dass jemand, der gekündigt hat nicht mehr in die Geschäftsbelange des Unternehmens weiteren Einfluss haben sollte, da er entweder seinen Job nicht mehr so "motiviert" machen könnte, oder aber er dabei aufgeschnappte Sachen evtl zum Gunsten der neuen Firma einsetzen könnte. Ob das stimmt oder nicht, sei hier mal egal.
Einen grund muss man bei einer fristgerechten Kündigung nicht angeben, sondern nur bei einer fristlosen Kündigung.