Gefangenenparadoxon / Eine Frage

[Gast]

Hallo,

ausgehend von dem Gefangenenparadoxon (de.wikipedia.org) habe ich eine Frage:

Wenn von drei Gefangenen (Anton, Brigitte und Clemens) zwei per Los hingerichtet werden sollen, ich Anton bin und Brigitte - nach Auskunft des Wächters - auf jeden Fall das schlechte Los gezogen hat, so sind meine Chancen auf Überleben gleich 1/3, Clemens Chancen aber 2/3.

Was passiert aber unter den gleichen Voraussetzungen wenn nur Clemens die Auskunft des Wächters über Brigittes Los bekommt?

Würden dann seine Chancen bei 1/3 stehen? (Das passiert doch wenn man unabhänig vom eigenen Namen Brigittes Los bestätigt bekommt?)

Oder würden seine Chancen ebenfalls bei 2/3 stehen? (Wie auch in der ersten Variante, wenn nur Anton über Brigittes Los bescheid weiss.)

lg

ElizaD

[geloescht_JesterDay]

Das ganze ist ja eher theoretischer Natur, denn da das Los schon entschieden hat, ändert sich ja nichts daran, auch wenn ein Name bekannt gegeben wird.

Das ist wie bei dem Zonk-Spiel. 3 Tore, hinter einem befindet sich der Gewinn. Du wählst Tor 1 und Tor 3 wird dann geöffnet. Dahinter ist der Zonk. Ist es jetzt besser dich umzuentscheiden für Tor 2 oder bleibst du lieber bei Tor1?

Besser ist es wenn du Tor 2 nimmst, denn für Tor 1 sprachen ja nur 33%. Für Tor 2 sprechen jetzt 50%.

Hier ist aber der Unterschied, dass die Entscheidung jetzt noch was ausmacht.

Aber ich denke das gleiche Prinzip ist auch bei den Gefangenen anzuwenden. Nur dass es da ja mehr theoretisch ist.

[Guybrush Threepwood]

Für Tor 1 sprechen in dem Moment aber dann auch 50%

[geloescht_JesterDay]

Für Tor 1 sprechen in dem Moment aber dann auch 50%

Aber da du dich zuerst für Tor 1 entschieden hast, ist die Chance dass es da falsch war größer, als wenn du dich jetzt für Tor 2 entscheidest. Natürlich ist es im Grundzustand, kein Tor ausgewählt, in dem Fall 50:50.

Und wechseln ist natürlich auch keine Garantie dass es dann richtig ist. Aber rein von der Chance her ist Wechseln die bessere Entscheidung.

[Guybrush Threepwood]

Nein das seh ich anders. Am Anfang wenn alle 3 Tore zu sind hast du eine 33% Chance das richtige Tor zu wählen. Wenn dann eins davon wegfällt steigt deine Chance auf das richtige Tor auf 50% weil ja nur noch 2 Tore da sind.

Ob du dich jetzt schon vor dem Wegfall des 3. Tores für eins entschieden hast oder erst nachher ändert nichts dran das eine 50% Chance besteht das dein gewähltes Tor das Richtige ist.

PS: Wo sollen denn auch die restlichen 17% hin sein? Also wenn das eine Tor mit 50% richtig wäre und das andere mit 33%?

[geloescht_JesterDay]

Ja, wenn nur noch 2 da sind hat jedes Tor 50% Chance das richtige zu sein. Die Chance dass du Anfangs mit Tor 1 aber falsch gelegen hast liegt bei 66% (das 1% schenken wir uns mal ). Das ist so, da kannst du auch nichts dagegen sagen. Daran ändert sich auch nichts, wenn jetzt 1 Tor wegfällt. Die Chance dass deine Wahl falsch war am Anfang ist immernoch 66%. Wenn du also bei Tor 1 bleibst sind es eben diese 66% dass es falsch war. Wenn du dich jetzt aber für Tor 2 entscheidest, dann ist es nur zu 50% falsch.

Das beide jetzt eine Chance von 50% haben richtig zu sein hat damit ja nichts zu tun, denn deine urspr. Entscheidung hast du ja schon vorher getroffen.

Falls du am Anfang das falsche gewählt hast, dann hast du das immernoch. Und die Chance dazu war eben groß. Die Chance dass Tor 1 falsch gewählt war hat sich ja nicht verringert, nur weil Tor 3 weg ist. Hingegen ist die Chance dass eine Wahl von Tor 2 jetzt falsch ist nur 50%.

[geloescht_JesterDay]

Und genau das kann man auch auf die 3 Gefangenen anwenden. Wenn Anton den Wächter um die Auskunft bittet, dann ist seine Chance der Auserwählte ( ) zu sein 33%. Wenn Clemens den Wächter danach frägt, dann ist seine Chance aber schon 50%.

Wobei das real nichts ändert. Seine Chance ist nur auf dem Papier besser geworden.

[Crash2001]

[...]Die Chance dass Tor 1 falsch gewählt war hat sich ja nicht verringert, nur weil Tor 3 weg ist. Hingegen ist die Chance dass eine Wahl von Tor 2 jetzt falsch ist nur 50%.

Doch klar hat sie das. Zumindest sobald das Tor 3 auf ist und der Zonk sichtbar ist.

[ingh]

Der Hintergrund zu genau dieser Diskussion ist auf bei Wikipedia unter dem Stichwort Ziegenproblem erklärt

[geloescht_JesterDay]

Doch klar hat sie das. Zumindest sobald das Tor 3 auf ist und der Zonk sichtbar ist.

Nein hat sie nicht. Jedes Tor hat 33% chance das falsche zu sein. Diese Chance hat es immernoch (bezogen auf die erste Wahl), auch wenn 1 Tor wegfällt.

Was du meinst ist die Wahl, wenn 1 Tor schon weg ist. Darum geht es aber nicht (außer beim Wechsel dann). Die Wahl wurde ja mit den 33% schon getroffen.

[Guybrush Threepwood]

Die erste Wahl ist aber irrelevant. Wie heißt es so schön, der Zufall hat kein Gedächtnis.

Mit dem Wegfall des 3. Tores steigt die Chance das dein Tor das Richtige ist automatisch auf 50%.

Aber wie oben schon angedeutet ist das imho ein einfaches mathematisches Problem. Du musst mit allen Wahlmöglichkeiten auf 100% kommen und mit 33% und 50% passt das nicht.

[geloescht_JesterDay]

Die erste Wahl ist aber irrelevant. Wie heißt es so schön, der Zufall hat kein Gedächtnis.

Mit dem Wegfall des 3. Tores steigt die Chance das dein Tor das Richtige ist automatisch auf 50%.

Ja, aber erst bei der zweiten Wahl. Deswegen ja der Wechsel. Dagegen sag ich ja auch nichts. Wenn du dich nach dem Wegfall nochmal komplett von vorne Entscheiden musst, hat jedes 50% Chance. Die Wahl von Tor 1 hast du aber schon getroffen gehabt und das hat mit Gedächtnis auch nichts zu tun. Um das mit dem Zufall nämlich anwenden zu können, muss deine Auswahl ja aufgehoben werden.

Eigentlich haben, auch nach Wegfall von Tor 3, beide Tore je eine 33% Chance die falschen zu sein. Bezogen auf die erste Wahl. Die Wahrscheinlichkeit dass du das falsche gewählt hast ist einfach größer als dass du durch Zufall das richtige hast, nämlich 66% zu 33%.

Da der Zonk nicht neu verteilt wird nach dem Wegfall des Tores, ändert sich daran nichts (Was dein "Zufallsgedächtnis" aber vorraussetzen würde).

Aber wie oben schon angedeutet ist das imho ein einfaches mathematisches Problem. Du musst mit allen Wahlmöglichkeiten auf 100% kommen und mit 33% und 50% passt das nicht.

Du darfst das nicht einfach addieren Das ist bissl zu simpel.

[ingh]

Die erste Wahl ist aber irrelevant. Wie heißt es so schön, der Zufall hat kein Gedächtnis.

Die erste Wahl ist sehr wohl relevant, denn abhängig davon öffnet der Showmaster ja das Tor mit dem Zonk. Darum muss man hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen, nicht mit voneinander unabhängigen.

[Guybrush Threepwood]

Das würde bedeuten das wenn du dich dann für Tor 2 umenscheidest und Tor 1 geöffnet wird welches nicht den Hauptpreis enthält, die Chance das Tor 2 den jetzt enthält auch nur bei 50% statt den eigentlichen 100% (da er ja nur noch hier sein kann) liegen würde.

[geloescht_JesterDay]

Ich hab mir das "Ziegenproblem" gerade mal angesehen. Das mit den 50% wird da gar nicht erwähnt.

Um die Lösung zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf einen Gewinn hinter dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändert – unabhängig, ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht. Mit anderen Worten: In 2/3 aller Fälle hat der Kandidat eine Tür mit einer Ziege ausgewählt. Der Moderator muss auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege öffnen. Das heißt, dass in 2/3 aller Fälle die verbliebene Tür den Preis enthält. Daher ist ein Wechsel strategisch stets sinnvoll.

Weiter noch eine Erklärung für die Fehlargumentation

[Guybrush Threepwood]

Hmmmm hab mir den Artikel mal durchgelesen, aber nach den dort beschriebenen Regeln müsste es immer eine 50:50 Chance sein. Denn selbst wenn ich beim erstenmal ein Ziegentor öffne hab ich trotzdem nicht verloren sondern es wird das andere Ziegentor geöffnet und ich kann nochmal zwischen 2 Toren wählen.

Deshalb denke ich auch das das Schema nicht richtig ist, denn es ist egal was ich in der ersten Runde wähle ich hab in der zweiten immer die Wahl zwischen einem Tor mit Ziege und einem mit Auto...

[geloescht_JesterDay]

Was passiert aber unter den gleichen Voraussetzungen wenn nur Clemens die Auskunft des Wächters über Brigittes Los bekommt?

Also man kann die 3 Gefangenen ja mit den Toren vergleichen. Anton wählt zuerst ein Tor. Damit ist er immernoch zu 33% der der begnadigt wird. Der Wärter sagt ihm dann einen der beiden anderen der Hingerichtet wird. In 66% (bin zu faul für 2/3 zu schreiben) der Fälle ist dann Anton derjenige, der begnadigt wird.

Davon wird aber davon ausgegangen, dass der Wärter auf jeden Fall einen der beiden anderen nennt, der ein schlechtes Los hat und auf keinen Fall den nennt, der Glück hat.

Umgekehrt ist es auch so, wenn Anton zuerst wählt, hat Clemens eine 2/3 C

hance.

Wobei ich das mit den Gefangenen komisch finde, da die ja keine wirkliche Wahl haben, sondern das los ja schon gezogen wurde, oder nicht?

[geloescht_JesterDay]

Hmmmm hab mir den Artikel mal durchgelesen, aber nach den dort beschriebenen Regeln müsste es immer eine 50:50 Chance sein.

Hast du dir das Beispiel mit der 1 Million Toren mal angesehen? Also stell dir vor du hast nicht 3 Tore sondern 1 Million. Davon sollst du eins auswählen und der Moderator öffnet dann alle bis auf eins. Die Chance dass das von dir gewählt das richtige war ist 1 / 1.000.000 also praktisch gleich 0. Damit ist es klar, dass du auf jeden Fall wechseln solltest. Denn die erste Wahl darfst du ja nicht einfach vergessen. Denn davon hängt ja ab welche Tore der Moderator öffnet.

Bei 3 Toren ist das nicht anders (außer von den Zahlenwerten).

Aber das sagt nie was aus, dass deine Chance durch den Wechsel 100% sind. Bei 3 Toren sind sie aber immerhin doppelt so groß beim Wechsel als wenn du bei deiner ersten Wahl bleibst.

[Guybrush Threepwood]

Naja aber das 1 Millionen Tore Beispiel arbeitet aber auch nach anderen Regeln weil in der zweiten Runde alle übrigen bis auf 2 geöffnet werden. Eigentlich müsste der Moderator eins öffnen und dann wieder fragen ob man wechseln möchte. Das dann halt so lange bis nur noch 2 übrig sind.

Ich kann das auch von der anderen Seite irgendwo nachvollziehen, aber für mich bleiben da trotzdem die oben genannten Unstimmigkeiten.

[geloescht_JesterDay]

Naja aber das 1 Millionen Tore Beispiel arbeitet aber auch nach anderen Regeln weil in der zweiten Runde alle übrigen bis auf 2 geöffnet werden. Eigentlich müsste der Moderator eins öffnen und dann wieder fragen ob man wechseln möchte. Das dann halt so lange bis nur noch 2 übrig sind.

Nein, das sind keine anderen Regeln. Du suchst eins aus, und dann werden alle aufgemacht bis auf dein ausgewähltes und ein anderes.

Das mit der 1 Million ist ja einfach um es dir einfacher zu machen vorzustellen, dass deine Auswahl am Anfang eine sehr schlechte Chance hat richtig zu sein (bzw eine schlechtere als danach).

Du versuchst das als total unabhängig voneinander anzusehen und die zweite Wahl komplett von der ersten zu trennen.