Probleme mit Digitaltechnik/ de Morgan

[Sassy]

Hey Leute,

ich bin total frustriert. Wir schreiben Ende dieser Woche eine Arbeit und unser Lehrer hat bisher keine einzige Aufgabe mit uns durch gearbeitet. Er gibt zwar immer jede Menge Zettel mit Übungsaufgaben rein, bespricht sie aber nie.

Und an Stoff gibt er immer nur PDF's wo dann alles theoretisch erklärt ist, auch ohne Beispiel.

Nun versuche ich einige der Aufgaben zu bearbeiten, weiss aber nicht ob es richtig ist. Hier mal ein Beispiel:

Gegeben ist die unten stehende Wahrheitstabelle. Stellen Sie die Funktionsgleichung per UND-Normalform auf.

E1 E2 E3 A

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Ich hab die UND-Normalform nun wie folgt aufgestellt:

X* = (E1 und E2* und E3*) v (E1 und E2* und E3) v (E1 und E2 und E3*)

* bedeutet NICHT

v bedeutet ODER

Soweit korrekt?

[Klotzkopp]

Soweit korrekt?

Nein. Das ist eine disjunktive Normalform (ODER-Normalform) für "nicht A".

[Sassy]

Hm dann vielleicht

A* = (E1 v E2* v E3*) UND (E1 v E2* v E3) UND (E1 v E2 v E3*)

?

[Klotzkopp]

Möchtest du jetzt raten?

Konjunktive Normalform ? Wikipedia

[Sassy]

Öhm jetzt seh ich grad meinen Fehler nicht.

Ist es denn so schwer, vernünftig zu helfen?

Bearbeitet 26. Oktober 2009 von Sassy

[Klotzkopp]

Im Wikipedia-Artikel steht beschrieben, wie die Konjuktive Normalform ermittelt werden kann. Du nimmst die Zeilen aus der Wahrheitstafel, für die das Ergebnis 0 ist, bildest dann aus den negierten Variablen Disjunktionen, die du dann alle UND-verknüpfst.

[flashpixx]

Bei der disjunktiven Normalform werden alle Ausgänge verwendet, die 1 sind, dazu werden die Eingänge, die Null sind negiert und mit "und" verknüpft, die einzelnen Terme werden per "oder" dann zusammen zum Ausdruck gebunden und entsprechend vereinfach (Quine McClusky bzw KV-Diagramme)

Bei der konjunktiven Normalform werden alle Ausgänge verwendet, die 0 sind, dazu werden die Eingänge, die 1 sind negiert und mit "oder" verknüpft, die einzelnen Terme werden per "und" dann zusammen gefasst und vereinfacht

und genau das zeigt das Bildchen auf der Wikipedia Seite. Es spielt keine Rolle ob man DNF oder KNF verwendet, man kann sie leicht wegen DeMorgan ineinander überführen

Zur Info in der Logik

Konjunktion = "und"

Disjunktion = "oder"

[Sassy]

Im Wikipedia-Artikel steht beschrieben, wie die Konjuktive Normalform ermittelt werden kann. Du nimmst die Zeilen aus der Wahrheitstafel, für die das Ergebnis 0 ist, bildest dann aus den negierten Variablen Disjunktionen, die du dann alle UND-verknüpfst.

Ich versteh hier das mit den "negierten Variablen" nicht.

Bei Wiki ist die erste Zeile

A B C Ergebnis

0 0 0 0

daraus kommt im Wiki-Beispiel (A v B v C). Da seh ich keine negierten Variablen. Und nach diesem Beispiel denke ich, dass mein 2. Vorschlag richtig ist.

[Klotzkopp]

Bei Wiki ist die erste Zeile

A B C Ergebnis

0 0 0 0

daraus kommt im Wiki-Beispiel (A v B v C). Da seh ich keine negierten Variablen.

Lies doch mal genau, was da steht. Da stehen doch überall Nullen.

Wenn nicht A und nicht B und nicht C, dann nicht Ergebnis.

[flashpixx]

Ich versteh hier das mit den "negierten Variablen" nicht.

Lies bitte einmal genau!

Du musst Dich erst einmal entscheiden, was Du überhaupt haben willst, eine DNF oder eine KNF. Erst danach erzeugst Du Deine Min- bzw Maxterme der gewählten Form entsprechend

Ich persönlich nehme lieber eine DNF.

[Sassy]

In der Aufgabe steht aber, dass wir die KNF nehmen sollen.

Ich nehme alle Zeilen, die als Ergebnis eine 0 haben, verknüpfe diese Zeilen mit UND und die einzelnen Variablen dieser Zeilen mit ODER.

Konjunktive Normalform ? Wikipedia

Daraus folgt für mich

A = (E1 v E2* v E3*) UND (E1 v E2* v E3) UND (E1 v E2 v E3*)

[Klotzkopp]

Ich nehme alle Zeilen, die als Ergebnis eine 0 haben, verknüpfe diese Zeilen mit UND und die einzelnen Variablen dieser Zeilen mit ODER.

Nein, das ist falsch. Und es steht auch nicht so bei Wikipedia.

Für jede Zeile, die als Resultat eine 0 liefert, wird eine Klausel gebildet, die alle Variablen der Funktion disjunktiv mit der invertierten Belegung verknüpft.

Es sollte dir doch aufgefallen sein, dass im Wikipedia-Beispiel der disjunktive Ausdruck für die erste Zeile (A=B=C=0) eben nicht !A v !B V !C lautet, wie es die Werte erwarten lassen würden, sondern A v B v C. Hier wurden die Werte also invertiert.

Daraus folgt für mich

A = (E1 v E2* v E3*) UND (E1 v E2* v E3) UND (E1 v E2 v E3*)

Und das ist falsch, weil du die Variablen nicht invertiert hast.

[flashpixx]

Nein, das ist falsch. Und es steht auch nicht so bei Wikipedia.

Nein, dem muss ich aber jetzt widersprechen, das ist erst einmal so korrekt:

Denn Im Wikipediabild werden die ersten 2 Einträge (000 = 0 und 001 = 0) für die KNF verwendet. Im Bild selbst werden sowohl KNF wie DNF verwendet.

Es sollte dir doch aufgefallen sein, dass im Wikipedia-Beispiel der disjunktive Ausdruck für die erste Zeile (A=B=C=0) eben nicht !A v !B V !C lautet, wie es die Werte erwarten lassen würden, sondern A v B v C. Hier wurden die Werte also invertiert.

Bitte nicht DNF und KNF durcheinander werfen.

Man benutzt entweder DNF oder KNF. Im Wikipediabild sind die KNF Teile rot und die DNF Teile grün und das entspricht genau auch der Definition

[Klotzkopp]

Nein, dem muss ich aber jetzt widersprechen, das ist erst einmal so korrekt:

Nein, da fehlt die Invertierung. Das daraus gefolgerte Ergebnis ist ja auch falsch.

Denn Im Wikipediabild werden die ersten 2 Einträge (000 = 0 und 001 = 0) für die KNF verwendet. Im Bild selbst werden sowohl KNF wie DNF verwendet.

Das ist mir schon klar. Trotzdem ist Sassys Beschreibung der Vorgehensweise für die KNF falsch.

Bitte nicht DNF und KNF durcheinander werfen.

Ich werfe hier nichts durcheinander. Für mich ist A v B v C ein disjunktiver Ausdruck.

Man benutzt entweder DNF oder KNF. Im Wikipediabild sind die KNF Teile rot und die DNF Teile grün und das entspricht genau auch der Definition

Und bei den roten Teilen sind die Variablenwerte invertiert. Und genau das macht Sassy nicht.

[Sassy]

Ach bin ich blöde xD jetzt hab ich es kapiert. Habe jedes mal den gleichen Fehler gedacht. Sorry.

Also ich versuch es noch mal:

A = (E1* v E2 v E3) UND (E1* v E2 v E3*) UND (E1* v E2* v E3)

(ist "A=" richtig oder "A*=" ?)

Dann kann mir jemand vielleicht erklären, ob und wie ich die Gleichung oben vereinfachen kann?

[Klotzkopp]

Ach bin ich blöde xD jetzt hab ich es kapiert. Habe jedes mal den gleichen Fehler gedacht. Sorry.

Macht nichts, manchmal dauert es eben etwas länger, bis der Groschen fällt

A = (E1* v E2 v E3) UND (E1* v E2 v E3*) UND (E1* v E2* v E3)

Das sieht gut aus.

(ist "A=" richtig oder "A*=" ?)

A ist richtig. Du hast ja die Wahrheitstabelle für A benutzt, nicht für A*.

Dann kann mir jemand vielleicht erklären, ob und wie ich die Gleichung oben vereinfachen kann?

Normalerweise würde man dafür wohl ein Karnaugh-Veitch-Diagramm benutzen.

Falls du das ohne solche Hilfsmittel tun sollst: UND und ODER sind jeweils zueinander distributiv, du kannst also jede der beiden Verknüpfungsarten aus der anderen "ausklammern".

[Sassy]

Normalerweise würde man dafür wohl ein Karnaugh-Veitch-Diagramm benutzen.

Ja kenne ich, die nehmen wir in der Berufsschule aber nicht durch.

Falls du das ohne solche Hilfsmittel tun sollst: UND und ODER sind jeweils zueinander distributiv, du kannst also jede der beiden Verknüpfungsarten aus der anderen "ausklammern".

Ja ich denk das bekomm ich hin

Dann hab ich noch eine Frage zu dieser Aufgabe, wie kann ich daraus jetzt eine Schaltung zeichnen? Das müssen wir nämlich leider auch können :/

[Klotzkopp]

Logikgatter ? Wikipedia

Zu jeder logischen Verknüpfung gibt es ein entsprechendes Gatter. Die Variablen belegen die Eingänge deiner Schaltung, das Ergebnis ist der Ausgang. Durch Verbinden der Ausgänge eines Gatters mit den Eingängen eines anderen kannst du komplexere Ausdrücke abbilden.

[Sassy]

Wie das praktisch geht, weiss ich aber leider nicht. Wir haben auch kein Beispiel in der Schule bekommen :/

[Klotzkopp]

Na dann ein Beispiel:

E = (A v und C

Zeichne ein ODER-Symbol und schreibe an die Eingänge A und B. Den Ausgang verbindest du mit einem Eingang eines UND-Symbols, an den anderen Eingang des UND-Symbols schreibst du C. An den Ausgang des UND-Symbols schreibst du E.

Soweit klar?

[Sassy]

Ja soweit klar.

Danke, ich üb noch mal ein bisschen