Hilfe im Studium

[Thunder90]

Hallo

Kann mir einer helfen kann das leider nicht lösen und ich hoffe mir kann das einer erklären?

Untersuchen Sie, ob die angegebenen Abbildungen f injektiv, surjektiv oder bijektiv sind:

(a) f : N -> N mit f(n) = 3n + 4

( f : N -> N mit f(n) = │n - 5│

© f : Z -> Z mit f(z) = z hoch 2 - 1

(d) f : Q+ -> Q+ mit f(q) = q hoch 2

(e) f : R -> R mit f(x) = x hoch 3

mfg

[carstenj]

Hi,

die Frage ist, ob es Sinn macht, wenn dir jemand die Lösungen hinschmiert. Was bedeutet denn surjektiv, injektiv und bijektiv? Wenn du das weisst, setz doch einfach mal entsprechende Zahlen in die Abbildungen ein.

Im Grunde siehst du das ja dann schon.

[Thunder90]

kannst du mir ein beispiel geben?

[carstenj]

Hi,

f(n) = 3n + 4


Setze 1,2, etc. ein:


f(1) = 3*1 + 4 = 7

f(2) = 3*2 + 4 = 10

Jetzt bedeutet z.B. surjektiv:

Surjektivität ? Wikipedia

Du hast also als Definitionsmenge N (also 1,2,3 etc.), und als Zielmenge auch N, d.h. ganze positive Zahlen. Wenn jetzt jedes Element der Zielmenge mindestens einmal angesprochen werden muss, ist die Abbildung dann surjektiv? Kann z.B. die 8 angesprochen werden?

[Thunder90]

und wie sieht man das auf die schnelle?

[carstenj]

Hi,

keine Ahnung, entweder man kann das schnell im Kopf ausrechnen oder halt nicht. Das sind relativ einfache Abbildungen, bei komplizierteren wirst du wohl Zahlen einsetzen und rumprobieren müssen.

Aber ich würde dir empfehlen, erstmal zu verstehen um was es dabei eigentlich geht, von daher ist "auf die Schnelle" sowieso nicht gerade die angemessenste Vorgehensweise.

[lilith2k3]

Ich denke, wenn Du mit eigenen Worten erklären kannst, was Injektivität oder Bijektivität für Abbildungen heißt, bzw. die schönen Mengendiagramme mit den Pfeilen dran malst, dürfte der Rest doch ein Klacks sein.

[Wodar Hospur]

Hallo

Kann mir einer helfen kann das leider nicht lösen und ich hoffe mir kann das einer erklären?

Untersuchen Sie, ob die angegebenen Abbildungen f injektiv, surjektiv oder bijektiv sind:

(a) f : N -> N mit f(n) = 3n + 4

( f : N -> N mit f(n) = │n - 5│

© f : Z -> Z mit f(z) = z hoch 2 - 1

(d) f : Q+ -> Q+ mit f(q) = q hoch 2

(e) f : R -> R mit f(x) = x hoch 3

mfg

Es gibt verschiedene Zugänge dazu.

- Du kannst dir die entsprechenden Bilder zeichnen/vorstellen.

- Du kannst auch algebraische die Definitionen beweisen.

Wenn wir jetzt also b analysieren versuchen wir erstmal die Injektivität zu klären.

Für die Injektivität muss gelten f(x_1) = f(x_2) <=> x_1 = x_2

Also:

| x - 5 | = | y - 5 |

für x < 5 gilt also 5-x

jetzt setzen wir noch y >= 5

5-x = y-5 <=> 10 - x = y.

Mit unseren Definition x < 5 und y >= 5 folgt x != y.

Also ist die Funktion nicht injektiv.

Da die Funktion nicht injektiv ist kannst du sofort die Bijektivität ausschließen.

Zum Schluß bleibt die Surjektivität.

Das heißt jedes Element deines Zielbereichs muss getroffen werden. Dazu kannst du in einfachen Fällen eine Umkehrfunktion g finden. So das gilt:

g(f(x)) = x. Also f(x) = |x-5| = y für x < 5 => y = 5-x = 5-y = x, Jetzt vertauscht du x und y und hast damit die gesuchte Funktion g(x) = 5-x für x<5. Wie du leicht siehst triffst du damit aber nur die natürlichen Zahlen von 1 bis 4. Also nehmen wir den fall x >= 5 => y = x - 5 = y + 5 = x. Wieder vertauschen. Deine neue Funktion sieht also aus g(x) = x + 5 Mit x >= 5.

Da deine Umkehrfunktion aus beiden Zusammengesetzt keine Lücken aufweist, folgt das du den kompletten Bereich triffst. Die Funktion ist also surjektiv.