Knobelei die 2. : Das Leiterproblem

[SirLizium]

Hab gerad im Igel-Knobel-Thread gelesen und ich hätte da auch mal eine ziemlich komplizierte Kobelaufgabe, die mich schon seit mehreren Monaten ohne Erfolg beschäftigt und mir regelmäßig Kopfzerbrechen bereitet... :

Also, wir haben da eine 3 Meter lange Leiter sowie eine Kiste (ein Würfel mit der Kantenlänge 1 Meter).

Die Kiste steht mit einer Fläche direkt an einer Wand. Nun soll die Leiter so an die Wand gelehnt werden, dass die Leiter die obere Kante des Würfels berührt, also quasi sowohl an der Wand als auch an der Kiste lehnt.

Die Frage: in welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?

Ich weiß, es klingt erstmal einfach, ist aber eine harte Nuß und vielleicht kommen wir ja gemeinsam auf die Lösung, alles was ich probiert hab (Pythagoras, Parameter-Funktionen etc. ) war erfolglos, und ich kenn die Lösung auch nicht. Freiwillige vor

[Smoggy]

Die Frage: in welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?

Na, bei Kantenlänge = 1m des Würfels, wird sie wohl den Würfel auch in 1m Höhe berühren ??!!

Oder meinst du die Länge des "unteren" Teilstücks der Leiter??

(Also vom Boden bis zum Berührungspunkt??)

[Woodstock]

Die Frage war wo berührt die Leiter die Wand!!! Nicht wo berührt sie die Kiste!

Bine

[gajUli]

Die Aufgabe gabs vor zwei Jahren schonmal mit einer 10m-Leiter.

Die Gleichungen lassen sich uebrigens nicht algebraisch loesen, weil sie vierten Grades sind.

[Klotzkopp]

Wenn man sich die Leiter als Gerade vorstellt:

y = m * x + b

Bei x = 0 sei die Wand, die Kiste reicht von x = 0 bis x = 1.

Dann gilt:

1 = m * 1 + b (Würfel wird berührt)

<=> m = 1 - b

Der Ursprung, der Y-Achsenabschnitt und der Schnittpunkt mit der X-Achse (bei -b/m) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus folgt nach dem Satz des Pythagoras:

b^2 + b^2/m^2 = 9

Das läuft wahrscheinlich auf irgendeine quadratische Gleichung hinaus, es wird ja auch zwei Lösungen geben.

[SirLizium]

Original geschrieben von gaiusjUlius

Die Aufgabe gabs vor zwei Jahren schonmal mit einer 10m-Leiter.

Die Gleichungen lassen sich uebrigens nicht algebraisch loesen, weil sie vierten Grades sind.

Stimmt, das hab ich bei meinen Rechnungen auch herausgefunden, aber vielleicht kennt ja jemand nen Kniff, wie man es trotzdem lösen kann ... :confused:

[u_n_glaublich]

mal kurz gerechnet:

die leiter berührt zwischen 3,82 m und 4m die Wand

schlagt mich wenns falsch ist.

is falsch. hab mir die aufgabe noch mal durch gelesen.

gilt nur für den bereich wenn die leiter auf der kiste steht.

[StefanK]

Original geschrieben von gaiusjUlius

Die Gleichungen lassen sich uebrigens nicht algebraisch loesen, weil sie vierten Grades sind.

Da kann ich Uli nur zustimmen

Außer jemand kann die Gleichung

x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 8x + 17 = 0

lösen

[Marlboro Man]

Original geschrieben von u_n_glaublich

mal kurz gerechnet:

die leiter berührt zwischen 3,82 m und 4m die Wand

schlagt mich wenns falsch ist.

is falsch. hab mir die aufgabe noch mal durch gelesen.

gilt nur für den bereich wenn die leiter auf der kiste steht.

kann nicht sein wenn die leiter nur 3 meter lang ist.

[Marlboro Man]

Original geschrieben von StefanK

Da kann ich Uli nur zustimmen

Außer jemand kann die Gleichung

x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 8x + 17 = 0

lösen

das geht waarte mal

[gajUli]

Kommt drauf an, was Du unter "das geht" verstehst. Numerisch ist es naeherungsweise moeglich, algebraisch nicht. Man kann das notfalls sogar mathematisch beweisen.

[Marlboro Man]

wie kammst du auf die gleichung???

[Jaraz]

Hallo,

es gibt natürlich 2 Lösungen:

1: ~2,49m

2: ~1,67m

Gruß Jaraz

[SirLizium]

Original geschrieben von Jaraz

Hallo,

es gibt natürlich 2 Lösungen:

1: ~2,49m

2: ~1,67m

Gruß Jaraz

Klingt gut... und wie kommst du auf die Lösung?

[Marlboro Man]

Original geschrieben von Jaraz

Hallo,

es gibt natürlich 2 Lösungen:

1: ~2,49m

2: ~1,67m

Gruß Jaraz

wie kammst du dadrauf poste mal bitte deine rechnung.

[Jaraz]

Hallo,

mit Strahlensatz und Satz des Phythagoras kommt man auf folgende Gleichung:

x² + 2x + 2 + 2/x + (1/x)² = Leiter²

Diese muss man jetzt so umformulieren, dass man x durch ne Hilfsgleichung ersetzen kann.

(x + 1/x)² + 2*(x + 1/x) = Leiter²

Hilfsgleichung:

h = x + 1/x

nun ergeben sich folgende quadratische Gleichungen:

h² + 2 h - Leiter² = 0

h1/2 = -1 +/- (Wurzel(1+Leiter²))

Wobei die negative Lösung nicht benötigt wird.

und:

x + 1/x = h

x² - h x + 1 = 0

x1/2 = - h/2 +/- (Wurzel((h/2)²-1)

Hierzu nun noch die Kantenlänge des Würfels addieren, fertig.

Gruß Jaraz

[RogerRabbit]

versuchen wir erst mal zusammenzufassen was wir wissen:

wir haben einen würfen der an einer wand steht...daraus ergibt sich das das gebilde was würfel und leiter ergeben ein rechtwinkliges dreieck. das es gibt im punkt a (der punkt an dem wand und boden sich treffen einen winkel von 90°.

ziehen wir jetzt durch diesen winkel eine winkelhalbierende bis zur leiter. die winkelhalbierende wird die leiter genau in der mitte treffen. die leiter ist in dem fall die hypothenuse.

das heißt..und erschlagt mich mit allem was ihr habt wenns falsch ist...die leiter liegt genau bei 1,50m am würfel an.

so long

[HELLmut]

es kann auf jeden fall nur eine lösung geben, weil du die leiter nur auf eine weise hinlegen kannst damit die bedingungen erfüllt sind.

sagen wir die leiter liegt vor dem würfel auf dem boden.

dann legen wir ein ende der leiter auf die würfelkante.

jetzt schieben wir die leiter bis sie an die wand stößt.

==> einzige möglichkeit

[Jaraz]

*erschlag*

Die Länge der Leiter ist bei uns natürlich nur 3 Meter.

Wie du siehst, muss es 2 Lösungen geben. Dein Ansatz ist also falsch und ich habe ihn auch nicht wirklich verstanden. :confused:

Gruß Jaraz

[Marlboro Man]

@rabbit

kann nicht sein, da der würfel nur 1 meter hoch ist und die strecke, wenn du nen 45 grad winkel nimmst die wurzel aus zwei währe, and der die leiter aufliegt.

[Marlboro Man]

Original geschrieben von sub7

es kann auf jeden fall nur eine lösung geben, weil du die leiter nur auf eine weise hinlegen kannst damit die bedingungen erfüllt sind.

sagen wir die leiter liegt vor dem würfel auf dem boden.

dann legen wir ein ende der leiter auf die würfelkante.

jetzt schieben wir die leiter bis sie an die wand stößt.

==> einzige möglichkeit

es muss zwei lösungen geben, da du die winkel an der die leiter an der wand und am boden liegen vertauschen kannst und dann auch die strecken umgedreht sind

ich hoff das kapiert noch einer, kann nicht so toll erklären.

[Grobmoscher]

ich glaub ich probier es einfach mal daheim aus... dann habe ich die Lösung ohne das mein Kopf qualmt...

[RogerRabbit]

wenn die lösung wie ich in diesem fall glaube genau die mitte der leiter ist dann gäbe es nur eine lösung. ich glaube 3m ist die mindestlänge für die hypothenuse in diesem fall. wäre sie kürzer würde es garnicht gehen.

ich versuch meinen lösungsansatz nochmal zu erklären.

zuerstmal denken wir und von 3 zu 2 dimensional also die seitenansicht.

wir haben auf jeden fall ein dreieck. da in der einen ecke ein quadrat ist weis man nun auch das es ein rechtwinkliges dreieck ist.

wenn ich jetzt durch diesen rechten winkel eine winkelhalbierende ziehe. treffe ich auf die mitte der gegenüberliegenen seite. in diesem fall die hypothenuse oder halt die leiter. da die leiter 3m lang ist ist die länge der leiter an dieser stelle 1,50m.

so long

[Klotzkopp]

Nur wenn die Leiter genau 2 * Wurzel aus 2 Meter lang ist, gibt es genau eine Lösung, nämlich 2 Meter.

[Marlboro Man]

@rabbit

wenn die leiter im 45 grad winkel an die wand gelhnt wäre hättest du recht

aber da der winkel anders ist als 45 grad zwisschen leiter und boden ist das nicht der fall, weil die kiste nur 1 m hoch und breit ist.

schau dir mal die bilder oben an.