Wochenmitte-Matherätsel

[Manne]

Hi Leute,

damit die Zeit bis zum Wochende nicht zu lang wird hier zwei kleine Rätsel.

1) Die drei Wägungen

Von 12 Kugeln, die alle gleich aussehen, sind 11 auch gleich schwer; nur eine hat ein abweichendes Gewicht. Zur Verfügung stehen eine Balkenwaage, die nur anzeigt, auf welcher Waagschale das größere Gewicht liegt oder ob Gleichgewicht herrscht.

Wie kann man durch höchstens 3 Wägungen die besondere Kugel finden und bestimmen, ob sie schwerer oder leichter als die anderen ist?

2) Das Zahlenhaus

Stell euch ein Haus mit vier Stockwerke und vier Wohnungen auf jeder Etage vor. Die Zahlen 1-16 ziehen in die Wohnungen a bis q ein.

Eine Skizze:

4. Stock => | a | b | c | d |

3. Stock => | e | f | g | h |

2. Stock => | i | j | k | l |

1. Stock => |m | n | o | p |

Die Quadratzahlen wohnen in den Ecken, die 2 im 2. Stock (i bis l).

Im ersten Stock werden die Zahlen von links nach rechts größer. Es gilt a>e, d.h. in a wohnt eine größere Zahl als in e, außerdem gilt h>g; j>i; j>k und k>l. Schließlich gilt noch n*o = c+d; i+j = k+l; e*f = g+h.

Wo wohnen die Zahlen?

Viel Spaß beim Knobeln.

Manne :cool:

[DBO]

man teilt die 12 stück in 4 Gruppen a 3 Kugeln......

Gr1, Gr2, Gr3, Gr4

wiege Gr1, Gr2

ist Gr1 > Gr2

nehme Gr1

ist Gr1 < Gr2

nehme Gr2

ist Gr1 == Gr2

nehme Gr3 und Gr4 und wiege das zweite mal:

ist Gr3 > Gr4

nehme Gr3

ist Gr3 < Gr4

nehme Gr4

nun hat man nach max. 2 mal wiegen die Gruppe mit der schwereren Kugel gefunden.........

aus dieser Gruppe nimmt man die ersten beiden Kugeln und benutzt die Wage:

wenn beide gleich schwer, dritte nicht gewogene Kugel die etwas schwerere, ansonsten diejenige welche nach unten geht...

:D

[Manne]

@NewNuke

Das ist ja schön und gut, aber die Kugel hat ein abweichendes Gewicht, d.h. sie kann leichter oder schwerere sein.

Manne

[DBO]

oh, sorry überlesen...... naja muss ich halt nochmal probieren;)

[past]

Hallo

Lösungsversuch zu den 12 Kugeln:

Zu Anfang nummeriert man die Kugeln von 1 bis 12 durch.

Für den ersten Versuch kommen die Kugeln 1 bis 4 ind die linke und 5 bis 8 in die rechte Schale.

Die anderen legt man erstmal zur Seite.

Mögliche Ergebnisse:

Erster möglicher Zustand

-> Die Waage bleibt im Gleichgeweicht

Das wiederum würde bedeuten das die gesuchte Kugel entwerder 9, 10, 11 oder 12 ist.

Dann werden die Kugeln 1 bis 3 gegen die Kugeln 9, 10, und 11 gewogen.

Wenn wieder ein Gleichgewicht herrscht so ist 12 die gesuchte Kugel.

Sind die Kugeln 9 bis 11 leichter als die von 1 bis 3 weis man, das die gesucht eKugel leichter sein muss.

Wiegt man nun die Kugeln 9 und 10 und es herrscht Gleichgewicht weis man das die gesuchte Kugel die 11 ist.

Oder jenachdem in welche Richtung die Waage geht sieht man welche leichter ist.

Zweiter möglicher Zusatnd

-> Die Waage bleibt nicht im Gleichgewicht

Angenommen die Seite mit den Kugeln 1 bis 4 ist schwerer.

Dann kann die gesuchte Kugel nicht die 9,10,11 oder 12 sein.

Nun packt man folgende Kugeln in die erste Waagschale:

1,2,3,5,6

In die zweite kommen dann die Kugeln:

9,10,11,12,4

Wenn jetzt ein Gleichgewicht herrscht muss es entweder die 8 oder 7 sein.

Da man ja weis das die gesuchte Kugel leichter sein muss muss man nurnoch die 8 und die 7 gegenwiegen und man sieht welche

Kugel gesucht ist.

Zweite Möglichkeit

Wenn die Seite mit den Kugeln 1 bis 6 schwerer ist, kann man sich folgendes herleiten

-> die Kugeln 4,5,6,9,10,11,12 können aufgrund der Resultate der vorherigen Messug nicht in Frage kommen

-> Somit muss die gesuchte Kugel schwerer sein

-> also kommen nur die Kugeln 1 bis 3 in Frage

wiegt man zb die Kugel 1 und 3 und es herrscht kein Gleichgewicht, kann man das Ergbenis sehen

Wenn jedoch Gleigewicht herrscht ist es die 2te Kugel

Dritte Möglickeit ist, das die Seite mit den Kugeln 4,9,10,11,12

Da wiederrum dir Kugeln 9,10,11,12 nicht in Frage kommen und die Kugeln 1,2,3 nicht gesamt weniger wiegen können ist entweder

die 4te Kugel schwerer oder die 5te oder 6te Kugel leichter.

Nun werden noch die Kugeln 5 und 6 gewogen.

Wenn Gleichgewicht herrscht lässt sich daraus schließen das die 4te Kugel die gesuchte schwerere ist oder wenn Ungleichheit

herrscht kann man sehen welche Kugel die gesuchte leichtere ist.

[Marlboro Man]

mann teilt drei gruppen ein a vier kugeln

1.gruppe1 vs gruppe2

gleichgewicht-> gruppe 3 teilen in 2 hälften

eine hälften wiegen gegen 2kugeln aus gruppe1

gleichgewicht-> andere hältfe teilen und abwiegen und mann hat die kugel.

2. gruppe1 vs gruppe2

ungleichgewicht->gruppe1 vs gruppe3

gleichgewischt gruppe2 teilen und wie oben fortfahren

ungleichgewischt-> gruppe3 teilen und auch wie oben fortfahren

[Manne]

@Truchsess

Gut, du bist auf dem richtigen Weg.

Aber in der Aufgabenstellung stand die gesuchte Kugel hat ein Gewicht welches verschieden ist von den andere, das kann schwerer oder leichter sein.

Der erste mögliche Zustand ist richtig, ab dem zweiten wird es dann Falsch, s.o.

@Marlboro Man

Das ist nicht detailliert genug für eine Lösung.

@all

Eine Anregung:

Es gibt noch eine, wie ich finde, viel elegantere Lösung als den Weg über einen Entscheidungsbaum.

Ein Tipp:

Benutzt doch mal ein anderes Zahlensystem als das mit der Basis 10, aber auch nicht das Duale, Oktale oder Hexadecimale.

Manne

[Grobmoscher]

Einmal etwas komplizierter Beschrieben und einmal etwas leichter... kannte die aufgabe schon und hätte sie wie Malboro beschrieben... und gelöst ... aber es geht nicht ganz auf ... mein Kopf qualmt schon

[Marlboro Man]

nicht detailiert genug?

aber richtig!

[Manne]

@Marlboro Man

Nein ist falsch.

1.gruppe1 vs gruppe2

gleichgewicht-> gruppe 3 teilen in 2 hälften

eine hälften wiegen gegen 2kugeln aus gruppe1

gleichgewicht-> andere hälfte teilen und abwiegen und mann hat die kugel.

Die letzte Schlussfolgerung ist falsch, siehe Aufgabenstellung.

Bisher hatten alle Schwierigkeiten die Aufgabenstellung richtig zu lesen.

Hier noch einmal, die gesuchte Kugel kann schwerer oder leichter sein.

Manne

[Marlboro Man]

aber fast mann muss dann nur eine kugel von der hälfte gegn die eine andere (egal welche nur nicht die andere von der hälfe) abwiegen und wenn die im gleichgewicht sind ist es die andere kugel(aus der hälfte) und wenn sie im ungleichgewicht sind dann hat man die ja sowieso.

[Manne]

@Marlboro Man

Sind dein Gedankengänge immer so verworren?

Drück es doch mal für jeden verständlich aus.

Manne :cool:

[Marlboro Man]

Original geschrieben von Manne

@Marlboro Man

Sind dein Gedankengänge immer so verworren?

Drück es doch mal für jeden verständlich aus.

Manne :cool:

ja sind sie!!!

also du nimmst die zeile, die du mir angekreidet hast und ersetzt sie durch das was ich eben geschrieben habe und dann stimmts.

[Manne]

@all

Mathe scheint ja nicht so der grosse Renner zu sein, wundert mich eigentlich, wo doch so viele Interesse an einem Informatik- oder Mathematikstudium haben und Mathe auch beim Fachinformatiker oft gefragt ist, wenn auch nicht auf dem hohen Niveau. :confused:

Was solls, hier die Auflösungen:

zu 1)

Der Weg über einen Entscheidungsbaum ist ein gangbarer Weg und führt auch zum Erfolg, wenn man ihn konsequent durchführt.

Da die Darstellung hier nur schlecht machbar ist, verzichte ich erst einmal darauf, sollte dennoch Interesse bestehen poste ich es gerne.

@Marlboro Man

Deine Lösung ist mir einfach zu knapp und konfus.

Die zweite Lösung finde ich genial und stammt leider nicht von mir:

Man nummeriert die Kugel von 1 - 12, legt sie nach dem unteren Schema auf die Waagschalen und addiert die Zahlen die den Wägeergebnissen entsprechen. Es ergibt sich bis auf das Vorzeichen die Nummer der abweichenden Kugel.

Schema

Wägung Nr | links rechts | ls Ggw rs

1 | 2 4 10 11 1 5 7 8 | -1 0 +1

2 | 3 4 6 7 2 5 11 12 | -3 0 +3

3 | 5 8 9 10 6 7 11 12 | -9 0 +9

ls => links schwerer; rs => rechts schwerer, Ggw => Gleichgewicht

Ein Beispiel:

Wenn also nacheinander die linke, die rechte und dann die linke Waagschale unten ist ist das Ergebnis

(-1) +3 + (-9) = -7 => Kugel Nr. 7 hat das abweichende Gewicht

Wenn sich bei den Kugel 1, 2, 6, 7, 11, 12 das Vorzeichen + ergibt, dann ist die entsprechende Kugel schwerer, ansonsten leichter. Bei den übrigen Kugeln ist es umgekehrt. In dem obigen Beispiel ist die Kugel 7 also leichter.

Nun die grosse Frage, warum funktioniert diese Strategie?

Man stelle sich die Darstellung der ugelnummern im Zahlensystem mit der Basis 3 mit den Ziffren 1, 0, -1 vor. Statt der 4 schreibt man also 11 = 1*3 hoch 1 + 1*3 hoch 0; 2 wird dargestellt als 1(-1) = 1*3 hoch 1 + (-1)*3 hoch 0; die 7 als 1(-1)1 = 1*3 hoch2 + (-1)*3 hoch1 + 1*3 hoch 0; 12 ist dann 110 = 1*3 hoch2 +1*3 hoch1 + 1*3 hoch0; usw. Die erste Wägung fragt nun in gewisserweise nach der letzten Stelle in der Zahlendarstellung:

alle Kugeln, deren Nummern in dieser (einer-)-Stelle eine 1 haben, kommen in die rechte Schale, alle mit einer (-1) in die linke, und die mit der Null werden beiseite gelegt. Entsprechend fragt die 2. Wägung nach der vorletzten (dreier-) und die dritte Wägung nach der drittletzten (neuner-) Stelle. In dieser Form kann das Verfahren noch nicht funktionieren, weil dann nicht gleich viele Kugelnauf beiden Waagschalen zu liegen kommen. Um die Ausgewogenheit wieder herzustellen, multipliziert man gewisse Nummern mit -1, in unserem Falle 3, 4, 5, 8, 9, 10. Da die Zahlendarstellungeindeutig ist, verweist jedes Wägeergebnis auf genau eine Kugel und -über das Vorzeichen- auch darauf, ob sie leichter oder schwerer ist.

Verallgemeinert man diese, kann man mit n Wägungen (3 hoch n -3)/2 Kugeln bewältigen, bei 4 Wägungen wären das z. B. 39 Kugeln.

Diese Lösung stammt von Heinz Haber, Gründer und Herausgeber der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft".

Ältere Semester dürften ihn auch aus seinen diversen Wissenschaftssendungen im Fernsehen kenne.

Wenn meine Finger etwas abgekühlt sind poste ich auch die Lösung zum Zahlenhaus.

Manne :cool:

[gugelhupf]

@Manne:

einfach genial...bin platt !!!!!!