kreismittelpunkt berechnen ...

[TinTin]

hoffe ich bin im richtigen forum:

es soll ein kreismittelpunkt berechnet werden.

gegeben sind 2 punkte auf dem kreisbogen x1/y1 und x2/y2 sowie der radius r.

wie muss ich die sache angehen?

ich weiss bereits, dass es eventuell zwei ergebniss gibt.

ciao TinTin

[Der Kleine]

Mittelsenkrechte zu den beiden Punkten schneidet jeweils den Ursprungpunkt vom Kreis.

Also Mittelsenkrechte in Normalform berechnen, dann dort die beiden Punkte, die den Abstand mit dem Radius r haben.

[Darth_Zeus]

Tangente der beiden Punkte errichten.

Auf beiden Punkten ein Lot fällen.

Schnittpunkt der Lote ist Kreismittelpunkt.

Funktioniert nicht, wenn Punkt1 und Punkt2 auf dem Kreisbogen Pi mal r auseinander sind, da die Lote dann identisch sind. 2 mal r mal Pi ist der Umfang, also ist r mal Pi der Halbkreis.

Sorry, Kleiner, aber auf einem Punkt lässt sich keine Senkrechte erstellen, daher erst Tangente errichten.

[Muadibb]

Mit Googlen kam ich auf ein erstes schnelles Ergebnis:

http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/9074.html?1096487592

"(x - xm)2 + (y - ym)2 = r2

Dabei ist M(xm | ym) der Kreismittelpunkt und r der Radius des Kreises.

x und y sind die "freien" Variablen, und die Menge aller P(x | y),

welche die Kreisgleichung erfüllen, bilden den Kreis. "

Ich würde dann für jeden Punkt die Gleichung aufstellen, so dass Du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten xm und ym hast, die Du dann berechnen kannst, wenn mich meine Mathekenntnisse nicht täuschen

[Der Kleine]

Sorry, Kleiner, aber auf einem Punkt lässt sich keine Senkrechte erstellen, daher erst Tangente errichten.

Ich glaube, wir meinen beide das Selbe, zwei Punkte begrenzen eine Strecke, auf der nunmal eine Mittelsenkrechte ermittelt werden kann.

Auf dieser Mittelsenkrechte liegen die beiden Kreismittelpunkte.

PS: Wenn der Kreisbogen vorgegeben ist, dann ist die Aufgabe eh überbestimmt. Es reicht IMO die beiden Punkte und der Radius.

Aber dann kannst du keine Tangente an den Krerisradius in den Punkten bilden??

[TinTin]

kommando zurück, zu früh gefreut ...

[Der Kleine]

Hat es Zeit, bis heute abend???

[TinTin]

wie muss ich denn die formel aufstellen, dasmit ich am ende xm/ym als ergebnis habe?

ich habe dann:

(x1 - xm)^2 + (y1 -ym)^2 = r^2 

und

(x2 - xm)^2 + (y2 -ym)^2 = r^2 

aber wie kann ich das nach xm/ym auflösen???

:confused:

wenn du dann zeit dafür hast...ja!

[Bubble]

Also, wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstenden habe:

Ein Kreis, Ursprung unbekannt, Radius r. Es sind zwei Punkte auf dem Kreis gegeben. Gesucht ist der Ursprung.

Ich meine, das das Ergebnis bei nur zwei gegebenen Punkten fast immer nicht eindeutig ist, denn es gibt zwei Lösungen. Man kann sie ermitteln, indem man durch jedenn der beiden gegeben Punkte einen Kreis vom Radius r legt. Die beiden Schnittpunkte der Kreise sind mögliche Orte für den Ursprung. Im Sonderfall des Abstandes der Punkte gleich 2r gibt es nur einen Schnittpunkt, der der Ursprung ist.

Wären drei Punkte auf dem Kreis gegeben, wäre der Ursprung des gesuchten Kreises der Punkt, in dem sich alle drei Kreise schneiden.

[Der Kleine]

Also ich hoffe, du benötigst nicht die Herleitung.

Sonst werden die Moderatoren es mir danken

Also :

gegeben :

Punkt A (xa; ya)

Punkt B (xb; yb)

Radius r

gesucht :

Punkt C (xc; yc)

Punkt D (xd; yd)

LSG:

Mathematisch also ein Rhombus

Schnittpunkt der Diagonalen im

Punkt E (xe, ye)

Vorgehen : Berechnung

1. )Punkt E

xe=(xa+xb)/2=(xc+xd)/2

ye=(ya+yb)/2=(yc+yd)/2

2.) Bestimmung des Abstandes zwischen A und E bzw B und E

a*a=(xa-xe)*(xa-xe)+(ya-ye)*(ya-ye)

4*a*a=(xa-xb)*(xa-xb)+(ya-yb)*(ya-yb) (Aufgrund von 1.)

3.) Bestimmung des Abstandes zwischen C und E bzw D und E:

4*b*b=(xc-xd)*(xc-xd)+(yc-yd)*(yc-yd) (analog zu 2.)

4.) Bestimmung von Hilfsgrößen zur Vereinfachung:

f=xa+xb

g=xa-xb

h=ya+yb

i=ya-yb

5.) Bestimmung der Senkrechten durch E:

y=f(x)=-g/i*x+h/2+g*f/(i*2)

also auch für die Punkte C und D

6.) Einsetzen in 2 und 3 (unter Hilfe von 1.):

4*a*a=g*g+i*i

4*b*b=(2*xc-f)*(2*xc-f)+(2*yc-h)*(2*yc-h)

7.)

Für xc gilt 5.) : folglich

yc=-g/i*xc+h/2+g*f/(i*2)

8.) 7.) in 6.)

4*b*b=(1+(g*g)/(i*i))*(2*xc-f)*(2*xc-f)

9.) r*r=a*a+b*b

10.)

folglich (jeweils plus und minus bei der Wurzel):

xc=f/2+Wurzel[(4*r*r-g*g-i*i)/(1+(g*g)/(i*i))]

yc=-g/i*xc+h/2+g*f/(i*2)

xd=f/2-Wurzel[(4*r*r-g*g-i*i)/(1+(g*g)/(i*i))]

yd=-g/i*xd+h/2+g*f/(i*2)

Habe es mit Excel getestet. Es sieht nicht verkehrt aus.

PS: Wenn i = 0, also ya=yb, bzw. die Gerade durch A und B eine Parallele zur x-Achse ist, dann funktioniert es nicht.

Aber das schaffst du auch alleine.

*Ich hoffe nur, daß du einigermassen Schlau wirst, die Lösungen stehen unter 10. Die Hilfsvariablen unter 4.*

[TinTin]

[quote name='Bubble

Ich meine, das das Ergebnis bei nur zwei gegebenen Punkten fast immer nicht eindeutig ist, denn es gibt zwei Lösungen. Man kann sie ermitteln, indem man durch jedenn der beiden gegeben Punkte einen Kreis vom Radius r legt. Die beiden Schnittpunkte der Kreise sind mögliche Orte für den Ursprung. Im Sonderfall des Abstandes der Punkte gleich 2r gibt es nur einen Schnittpunkt, der der Ursprung ist.

[/quote']

das hab ich ja am anfang schon geschrieben, die aufgabe ist ein wenig

unterdefiniert um ein eindeutiges ergebnis zu liefern.

@ 'der kleine' :

Sorry war ne ganze weile unterwegs, werde mir die lösung aber jetzt al zu

gemüte führen. danke für deine mühe.

:uli

Ciao TinTin

[Bodoo]

Für weitere Suchende poste ich mal eine unoptimierte Lösung (java):

Vorbedingungen

r = Radius*Radius

xa,ya,xb,yb Koordinaten der gegebenen Punkte

    double a = -((-2*ya)-(-2*yb))/((-2*xa)-(-2*xb));

    double b = -((xa*xa+ya*ya-r)-(xb*xb+yb*yb-r))/((-2*xa)-(-2*xb));

    double p = (-2*(xa-*a-2*ya)/(a*a+1);

    double q = ((xa-*(xa-+ya*ya-r)/(a*a+1);

    double y1 = -p/2 + Math.sqrt((p*p)/4 -q);

    double y2 = -p/2 - Math.sqrt((p*p)/4 -q);

    double x1 = a*y1+b;

    double x2 = a*y2+b;

[/code]

Wie gesagt, unoptimiert