Rechenaufgabe ...

[geloescht_JesterDay]

so ergibt sich folgendes:

a²+a²-2ab=ab+a²-2ab

Da es in der Natur des Menschen liegt, die Übersicht zu behalten, können wir dieses Gewirr nun vereinfachen:

2(a²-ab)=a²-ab

Hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen:

a²+a²-2ab=ab+a²-2ab

a²+(a²-2ab)=ab+(a²-2ab) |-ab

a²-ab+(a²-2ab)=(a²-2ab) | -(a²-2ab)

a²-ab=0

[Thorsten Schröder]

Hallo JesterDay,

Die Aufgabe macht wirklich Spaß Â§:-)

Also, wenn Du mal genau darüber nachdenkst, stößt Du auf den Fehler im letzten Schritt, wobei man denken könnte, die Schrittabfolge sei logisch begründet.

In meinem Beitrag #22 beschreibe ich genau jenen fatalen Fehler der Aufgabe, den Welenreiter in seinem Beitrag #24 etwas deutlicher beschreibt.

Ich habe mich vielleicht nicht exakt ausgedrückt, sorry.

ps.

Da Du bei Mannheim wohnst; ich hab mal in L8, 7 gewohnt.

Einige denken dies sei ein Block in der JVA §;-)

[Anday]

edit: jo.. hätte auch mal seite 2 lesen sollen... :-)

[ExAzubi]

Die Aussage das eine Division durch 0 nicht definiert ist, stimmt so nicht ganz. Eine Division durch 0 ergibt "unendlich", womit alle thesen wieder stimmen und die aufgabe a=b auch richtig ist, a und b sind halt "unendlich"

[Der Kleine]

Die Aussage das eine Division durch 0 nicht definiert ist, stimmt so nicht ganz. Eine Division durch 0 ergibt "unendlich",

Ah, ja, hast du Quellen für diese Aussage?

[Bubble]

Ah, ja, hast du Quellen für diese Aussage?

Bilde den Grenzwert von 1/n mit n gegen unendlich.

[beebof]

Bilde den Grenzwert von 1/n mit n gegen unendlich.

...hmmm... das ist dann aber eine Division durch eine gaaaaaanz große Zahl (!= Null!)

[Der Kleine]

Bilde den Grenzwert von 1/n mit n gegen unendlich.

Dann komme ich auf Null.

Selbst wenn ich durch den Grenzwert dividiere, ist dass nicht das Gleiche, als wenn direkt durch Null dividiert würde.

Trotzdem bleibt die Frage, seit wann die Definition, daß eine Division durch Null nicht erlaubt ist, nicht mehr so ganz stimmt.

[Maschmello]

rein logisch betrachtet könnte man meinen, dass ein Division durch Null unendlich ist, aber das ist nicht methematisch nachweisbar, noch macht es in anderen Fällen Irrsinn (3 Äpfel teile ich teile ich unter 0 Leuten, man kann nicht sagen, wieviel Äpfel nun jeder hat, denn es gibt keinen)

[Bubble]

Dann komme ich auf Null.

Ich meinte natürlich den Grenzwert von 1/n mit n gegen 0. Je kleiner n wird, desto größer wird der Bruch, er strebt mit kleiner werdendem n gegen unendlich.

Das ändert aber nichts daran, dass eine Division durch 0 in den reellen oder komplexen Zahlen der Mathematik nicht definirt ist (es gibt kein eindeutiges Ergebnis). "Unendlich" ich auch keine Zahl, man kann "unendlich" z.B. weder addieren, noch subtrahieren.

Begründung: Bei der Division als Umkehrung der Multiplikation sucht man die Zahl x, die die Gleichung a*x=b erfüllt. Durch Umformen erhält man x=b/a. Interessant ist für die Frage zur Division durch 0 der Fall a=0.

Hierbei müssen zwei eitere Fälle unterschieden werden:

1. b=0

Dies führt zur Gleichung 0*x=0. Also jede beliebige Zahl x würde die Gleichung erfüllen, es gibt kein eindeutiges Ergebnis.

2. b!=0

Dies führt zur Gleichung 0*x!=0. Es gibt allerdings keine Zahl, die mit 0 multipliziert ungleich 0 ist, die Gleichung ist nicht lösbar.

Da es in beiden Fällen kein eindeutiges Ergebnis gibt, kann die Multiplikation mit 0 nicht umgekehrt werden, es ist also nicht möglich durch 0 zu dividieren.

Für FLOAT-ZAHLEN (Gleitkommazahlen) ist im Gegensatz zur Mathematik eine Division durch 0 definiert! Hier ist z.B. x / +0 = +Inf

Erweitert man die reellen Zahlen ähnlich wie die Float-Zahlen um zwei weitere Symbole (+unedlich und -unendlich, die liegenden 8-ten), ergibt x / 0 = +unendlich. (Begündung über Grenzwerte möglich). Allerdings ist nach der Erweiterung um die zwei Symbole z.B. 0/0 und unendlich/unendlich weiterhin undefiniert und es gibt nach der Erweiterung noch ein paar Einschränkungen, deren Erklärung jetzt aber zu weit führen würde.

[Der Kleine]

Da es in beiden Fällen kein eindeutiges Ergebnis gibt, kann die Multiplikation mit 0 nicht umgekehrt werden, es ist also nicht möglich durch 0 zu dividieren.

Sprich: Die Aussage

Die Aussage das eine Division durch 0 nicht definiert ist, stimmt so nicht ganz. Eine Division durch 0 ergibt "unendlich",

ist falsch.

[Bubble]

Die Aussage das eine Division durch 0 nicht definiert ist, stimmt so nicht ganz. Eine Division durch 0 ergibt "unendlich",

Sprich: Die Aussage

ist falsch.

Es kommt halt darauf an

Bei den reellen Zahlen, komplexen Zahlen, im PC-Bereich bei den Integer-Zahlen, ... ist die Umkehrung der Multiplikation mit 0 nicht definiert (siehe Begründung). In diesem Fall ist seine Aussage also falsch.

Erweitert man den Zahlenbereich der reellen Zahlen hingegen um +unendlich und -unendlich, gibt es für die Division beiner beliebigen Zahl x durch 0 das Ergebnis +unendlich (x positiv) bzw. -unendlich (x negativ). Dieses gilt auch für Floats, da sie den Zahlenraum ebenfalls entsprechend erweitern. In diesem Fall wäre seine Aussage, dass x/0=unendlich ist nicht falsch.

Er hat leider nicht dazugeschrieben, welchen Zahlenraum er betrachtet.

In den bisher beschriebeben "Rechenwegen" für Beweile ala "1=2" (die natürlich alle falsch sind) kam aber auch 0/0 vor. Dieses ist jedoch auch nach der Erweiterung nicht definiert, es gibt keine gültige Lösung.

womit alle thesen wieder stimmen und die aufgabe a=b auch richtig ist, a und b sind halt "unendlich"

War die vorige Aussagen nach Erweiterung des Zahlenraumes noch richtig, ist diese Aussage, die auf den "Rechenweg" von Welenreiter bezogen zu sein scheint, falsch.

[beebof]

Erweitert man die reellen Zahlen ähnlich wie die Float-Zahlen um zwei weitere Symbole (+unedlich und -unendlich, die liegenden 8-ten), ergibt x / 0 = +unendlich. (Begündung über Grenzwerte möglich).

Habe ich anders gelernt. Es ist nur x/(unendlich) = 0 definiert und (unendlich)/c = 1/c*(unendlich) für c!= 0 definiert. (c*unendlich)=(sgn c)*unendlich

[Crash2001]

Also da ja a = b ist - wieso dann überhaupt noch ausrechnen und nicht direkt b durch a ersetzen? :confused:

[Maschmello]

Wenn etwas durch null unendlich ist:

4711/0 = (unendlich) | * 0

4711 = 0

Und Zack kracht das Universium in sich zusammen... boom

[Bubble]

Wenn etwas durch null unendlich ist:

4711/0 = (unendlich) | * 0

4711 = 0

Und Zack kracht das Universium in sich zusammen... boom

(4711/0) = (unendlich) | * 0

(4711/0) * 0 = (unendlich) * 0

0 = 0

[beebof]

(4711/0) = (unendlich) | * 0

(4711/0) * 0 = (unendlich) * 0

0 = 0

(4711/0) = (unendlich) | * 0

(4711/0) * 0 = (unendlich) * 0

4711* (0/0) = (unendlich) * 0 = 0.

hmpf. Demnach ist 0/0 auch definiert...

[Bubble]

hmpf. Demnach ist 0/0 auch definiert...

Es ist einfach nicht definiert.

[Terminator85]

Hmm

0*0 = 5

da

5*0 = 0

Oder

0*0 = 10

da

10*0 = 0

Außerdem ist unenedlich nicht näher definiert (wenn ja dann bitte posten)

Wenn etwas durch null unendlich ist:

4711/0 = (unendlich) | * 0

4711 = 0

Und Zack kracht das Universium in sich zusammen... boom

NEIN!!! Das Universum bleibt bestehen da in deiner Gleichung nicht durch 0 geteilt werden darf (man darf nie durch 0 teilen)

Außerdem wäre 4711/0 = 4711 und nicht unendlich

da müsstest du schon mit beweisen das 4711 = unenedlich ist

[beebof]

Es ist einfach nicht definiert.

Richtig. Genauso wie 4711/0, da ein "Umstellen" der Gleichung im reellen (auch im erweiterten Sinne) erlaubt ist.

[Maschmello]

NEIN!!! Das Universum bleibt bestehen da in deiner Gleichung nicht durch 0 geteilt werden darf (man darf nie durch 0 teilen)

Die Rechnung war auch nur ein Bespiel was wäre wenn eine Division durch Null unendlich als Ergebnis ausgeben würde. Da manche vorhererwähnten Behauptungen sowas ähh ja behaupteten. Erko wenn man durch null dividieren könnte, würde das Universium zusammen fallen. Bloß gut, dass man das halt nicht kann, hui nochmal Schwein gehabt.

[Bubble]

Richtig. Genauso wie 4711/0

Division durch 0 ist für reelle Zahlen nicht definiert, ich habe nie etwas anderes behauptet.

Man kann in einem erweiteren Zahlenraum a/0 = unendlich definieren (wie oben beschrieben), ausgehend von der Überlegung, dass lim (b->0) von a/b = unedlich ist. Dieses geht natürlich nicht für reelle Zahlen! Es muss auch bedacht werden, dass "unendlich" keine Zahl ist! Deswegen hat die Gleichung 0*x=0 noch immer keine eindeutige Lösung. Ob diese Definition *sinnvoll* ist, ist eine komplett andere Frage. Float-Darstellunegn (nach IEEE 754-Norm) tun es jedenfalls, daher sollte jeder von diesem Verhalten wissen, der in diesem Bereich mit Float-Zahlen hantiert. Es hat nicht viel mit Deiner *normalen* Zahlenvorstellung zu tun, wo x/0 einfach *nicht definiert* ist.

Ich hoffe das Reicht, um die Verwirrungen etwas zu entwirren. Für Interessierte habe ich hier noch drei Wikipedia-Artikel-Links:

http://de.wikipedia.org/wiki/Division_durch_Null

http://de.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero

[Der Kleine]

Erweitert man den Zahlenbereich der reellen Zahlen hingegen um +unendlich und -unendlich, gibt es für die Division beiner beliebigen Zahl x durch 0 das Ergebnis +unendlich (x positiv) bzw. -unendlich (x negativ). Dieses gilt auch für Floats, da sie den Zahlenraum ebenfalls entsprechend erweitern. In diesem Fall wäre seine Aussage, dass x/0=unendlich ist nicht falsch.

Um was genau willst du die reellen Zahlen erweitern?

Inwieweit besteht bei deiner Erweiterung ein Unterschied zu reellen Zahlen?

Du wirst immer auf Grenzwertbetrachtungen kommen und mathematisch mit dem Grenzwert agieren müssen. Anders kann man deine Aussagen nicht interpretieren.

Da du aber bei Grenzwertbetrachtungen eine Betrachtung des Grenzwertes vornimmst, löst du immer noch nicht das Problem der Division durch Null.

Floats werden benötigt bei der programmierung. Da es noch keine Programmiersprache gibt, die in Extremsituationen exakt rechnet (was teilweise nicht mal die Mathematik kann), wirst du dich immer mit Näherungen abgeben. Und Floats dürften irgendwann ab einer bestimmten Nachkommastelle immer approximieren, da einfach der Speicherplatz der Darstellung einer irrationalen (und somit reelen) Zahl nicht ausreichen dürfte (rein logisch gesehen). Somit sind 1/3 niemals das Gleiche wie 0,|3 . Folglich geht es gar nicht darum.

PS: Eine Division durch Null läßt sich auch bei komplexen Zahlen nicht ermitteln. Und selbst bei weiteren anderen logischen Erweiterungen der Zahlensysteme, die vielleicht andere Probleme lösen, kann die Division durch Null keinen Wert ergeben.

Sonst würdest du das Axiomensystem von Peano verlasssen und gelangst zu anderen spannenden Erkenntnissen.

[Bubble]

Ich glaube zwar, dass auch dieser Beitrag nichts hilft, da ich hier auch bisher nicht verstanden wurde, aber ich werde es dennoch einmal versuchen. Ich würde mich allerdings über ein paar Infos über Eure Mathematikkentnisse freuen, um mich verständlicher ausdrücken zu können.

Um was genau willst du die reellen Zahlen erweitern?

Inwieweit besteht bei deiner Erweiterung ein Unterschied zu reellen Zahlen?

Um die 2 Symbole "+unendlich" und "-unendlich". Dies sind keine Zahlen! Also:

R' = R u {+unendlich, -unendlich}

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich

Du wirst immer auf Grenzwertbetrachtungen kommen und mathematisch mit dem Grenzwert agieren müssen. Anders kann man deine Aussagen nicht interpretieren.

Ich habe erläutert, dass man durch Grenzwertbetrachtungen anschaulich sagen kann, dass lim(x->0) von a/x = unendlich ist und man z.B. für Fließkommazahlen in einem R' einfach a/0 = unendlich definiert hat. Dies ist eine Festlegung! Das hat nichts mit der Rechengenauigkeit/Anzahl der Bits für die Darstellung zu tun.

Lies bitte http://de.wikipedia.org/wiki/Division_durch_Null

(Insbesondere die Abschnitte "Erweiterung der reellen Zahlen" und "Division durch Null auf Computern")

Floats werden benötigt bei der programmierung. Da es noch keine Programmiersprache gibt, die in Extremsituationen exakt rechnet (was teilweise nicht mal die Mathematik kann)

Die Mathematik ist immer exakt, wenn nicht, hätte sie ein ernsthaftes Problem.

Aber wie gesagt: Die Überlegungen hier und die IEEE-Definition von Floats hat nichts mit Programmiersprachen oder der Rechengenauigkeit zu tun. Integer-Zahlen sind im PC-Bereich übrigens so definiert, dass eine Division durch 0 zu einer Exception führt und nicht unendlich. Sie verhalten sich also genau anders als die Floats.

Und selbst bei weiteren anderen logischen Erweiterungen der Zahlensysteme, die vielleicht andere Probleme lösen, kann die Division durch Null keinen Wert ergeben.

Zum Lesen: http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory

http://www.math.su.se/~jesper/research/wheels/wheels.pdf

[Der Kleine]

Ich glaube zwar, dass auch dieser Beitrag nichts hilft, da ich hier auch bisher nicht verstanden wurde, aber ich werde es dennoch einmal versuchen. Ich würde mich allerdings über ein paar Infos über Eure Mathematikkentnisse freuen, um mich verständlicher ausdrücken zu können.

Ich war mal ziemlich gut, beim Abi und habe gelernt, eigentlich ziemlich penibel und exakt zu sein.

Schliesslich ist gerade in der Mathematik die richtige Axiomatik wichtig zum umfassenden Verständnis und zur exakten Beweisführung.

Um die 2 Symbole "+unendlich" und "-unendlich". Dies sind keine Zahlen! Also:

R' = R u {+unendlich, -unendlich}

Du kannst diese somit aber nicht den reellen Zahlen zuordnen und somit auch nicht mit ihnen rechnen. Daher muß die Aussage eindeutig sein, daß die Division durch Null nicht definiert sein kann.

Eine Erweiterung des reellen Zahlenbereiches um diese beiden Symbole birgt in sich einfach nicht auflösbare Widersprüche, weil wie will man, sofern man einfach eine Zahl zur bestehenden zurechnet, die Unendlichkeit erreichen. Sie sind lediglich Darstellungsform zur Beschreibung eines nicht erreichbaren Zustandes und dienen somit in der Mathematik zur Vereinfachung der Darstellung. Wenn man den Zahlenbereich erweitert, widerspricht man sich.

Bei der Grenzwertbetrachtung wirst du zur vereinfachten Darstellung einfach die Symbole für die Unendlichkeit erreichen. Trotzdem ist die Division durch Null nicht definiert. Wenn du mit Grenzwerten diese Division approximieren willst, dann landest du im Unendlichen, approximierst aber nur. Somit kannst du nicht einfach umdefinieren, wei es dir passt und die Division durch Null mit der Grenzwertbetrachtung der Division durch Null gleichsetzen.

Zum Lesen: http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory

http://www.math.su.se/~jesper/research/wheels/wheels.pdf

Wenn ich richtig liege, verläßt du aber die Grundaxiome von Peano, zumindest schwächst du Ihre Bedeutung ab. - aber ist auch egal und schon lange her bei mir -