Aufgabe aus Einstellungstest

[Mulla]

Hi,

ich hab hier ne kleine Frage zu ner Gleichung mit 2 Variablen. Sie soll Mathematisch(!!) gelöst werden. Das Ergebnis soll eine ganze Zahl sein. Weiss einer von euch wie man da drauf kommt ?

x = 300/11 - 39y/11

[Klotzkopp]

Ich stelle das um zu

11x + 39y = 300

Dabei fällt mir auf, dass 11 + 39 = 50 ein Teiler von 300 ist. 300 / 50 ist 6, also ist x = y = 6 eine Lösung dieser Gleichung.

[Mulla]

Und auf genau sowas komm ich nie... naja kann man das nicht irgendwie mathematisch lösen? Weil wirklich verstehen tue ich das noch nicht.

EDIT: Ich glaub ich verstehs langsam... als du gesehen hast dass 11+39 nen teiler von 300 sind musste ja für diese lösung x=y sein oder ?

[freq.9]

Also 11 + 39 sind 50, x und y sind variabel und 50 ist ein Teiler von 300 also müssen 11 und 39 jeweils mit 6 multipliziert werden, dass du 66 + 234 hast und die Summer daraus ist 300.

(11 * 6) + (39 * 6) = 300 --> x = y = 6

[DennyB]

Die hier schon angesprochene Loesung ist wahrscheinlich die von dir erwartete. Da es keine 2. Gleichung gibt, hat dieses Gleichungsystem unendlich viele.

Du koenntest Beispielweise x durch y ausdruecken:

11x + 39y = 300

x = (300 - 39y)/11

So koenntest du fuer ein beliebiges y das x bestimmen.

Oder du loest es geometrisch.

[twanka]

Da die Aufgabe ja war, es solle eine "mathematische" Lösung gefunden werden, hätte ich einen Vorschlag zur Formulierung:

Angenommen, es gilt: x=y, dann lässt sich die Gleichung umschreiben in

11x+39x=300 woraus direkt folgt: x=6.

Das ist mathematisch sauber, und auch eine ganzzahlige Lösung. Ein algebraisches Verfahren zum "ausrechnen" ganzzahliger Lösungen im allgemeinen Sinne kenne ich nicht, und ganz allgemein muss es ja auch nicht immer eine ganzzahlige Lösung geben.

[Warfox]

ähhmmm x und y können ganz unterschiedlich sein...deshalb bezweifle ich eure lösungen...aber irgendwo im hinterkopf hab ich da noch son wort namens "Mitternachtsformel"....das könnte die lösung sein.....

[1226]

Ich steh grad mächtig aufm Schlauch, aber werden nicht genauso viele Gleichungen wie unbekannte (hier zwei) benötigt, um rechnerisch zu einer eindeutigen Lösung zu gelangen??? In diesem Fall hier hilft wirklich nur probieren.

[Warfox]

nene denn 3x = y oder so kann schon sein aber dann weißt du auch nur dass 3x = y ist und nicht dass y = 3 ist...da muss schon diese eine komische formel her....sonst is da nix...

[DennyB]

Ich habe oben bereits geschrieben, dass die Gleichung unendlich viele Loesungen hat. Die Loesung die hier gesagt wurde, ist die, auf die man ohne Probleme mit Kopfrechnen kommen kann. Wie waers, wenn man einfach mal die Posts ueber sich liest, bevor man Unsinn schreibt?

Die "Mitternachtsformel" ist etwas volkommen anderes und hat absolut nichts damit zu tun. Es gibt auch keine andere Formel, das ist ein ganz simples mathematisches Problem.

[1226]

Ganze Zahlen??? Unendlich viele Lösungen??? Beweis???

Oder hast du nur die Posts über dir nicht gelesen?

[geloescht_JesterDay]

Hi,

ich hab hier ne kleine Frage zu ner Gleichung mit 2 Variablen. Sie soll Mathematisch(!!) gelöst werden. Das Ergebnis soll eine ganze Zahl sein. Weiss einer von euch wie man da drauf kommt ?

x = 300/11 - 39y/11

Naja, wurde ja schon viel dazu gesagt... aber wenn in der Aufgabe wirklich drin steht, dass das Ergebnis eine ganze Zahl sein soll, dann geht daraus ja hervor, dass x=y sein muss. Und wenn x=y kannst du einfach mit ausklammern rechnen:

x = 300/11 - 39y/11  | * 11

11x = 300 - 39y        | + 39y

11x+39y = 300         | da x=y -> y durch x ersetzen

11x + 39x = 300

(11+39)x = 300

50x = 300

-> x=y=6

[Warfox]

jo aber für irgend ne gleichung mit 2 variablen war doch die mitternachtsformel oder????

[DennyB]

1226:

Uebrigens, ich habe nicht dich gemeint

Noe, es muss nicht x=y sein, aber es ist die Loesung auf die man mit Kopfrechnen kommt.

Wenn die Gleichung unendlich viele Loesungen hat, dann hat sie auch unendlich viele ganzzahlige Loesungen. Ein paar Beispiele:

x = -33, y = 17

x = -72, y = 28

x = -111, y = 39

x = -150, y = 50

x = -189, y = 61

x = -228, y = 72

x = -267, y = 83

x = -306, y = 94

x = -345, y = 105

x = -384, y = 116

x = -423, y = 127

x = -462, y = 138

x = -501, y = 149

x = -540, y = 160

x = -579, y = 171

x = -618, y = 182

Die Mitternachtsformel ist die pq-Formel und wird benutzt um quadratische Gleichungen zu Loesungen. Das hier ist etwas wie ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

[1226]

Args, das kommt davon, wenn man ganze und natürliche Zahlen durcheinander schmeisst. Ich stell mich besser in die Ecke und schäme mich

[Crush]

Vielleicht sollte man das ganze so angehen:

Beweis, daß es nicht nur eine Lösung geben kann:

Eine Gegenüberstellung von x und y (ineinander aufgelöst) zeigt:

(300-39y) / 11 = (300 - 11x) / 39

3300 - 429y = 11700 - 429x

8400 = 0

-> Da die Gleichung nicht lösbar ist, muß es mehr entweder keine oder mehrere Lösungen der Gleichung geben, da man durch simples Einsetzen sehen kann, daß es wohl mindestens eine gibt, ist Letzteres zutreffend.

folglich kann man sehen:

aus: 11x + 39y = 300

folgt: 11x = 300 - 39y

und: 39y = 300 - 11x

Wäre das + ein * würden sich der x- und y-Teil der Gleichung proportional verhalten. Folglich:

Beweis mehrerer Lösungen:

Da der x- und der y-Teil sich gegeneinander antiproportional verhalten müssen, damit das fixe Ergebnis der Gleichung erreicht werden kann, muß es auf jeden Fall mehrere, vermutlich sogar unendlich viele Lösungen geben.

Beweis der Unendlichkeit:

Berechnet man mehrere x-y-Wertepaare, zeigt sich, daß es sich nicht um einen stabilen Quotienten handelt. Das Eintragen der Wertepaare in einen Graph beweist, daß die Gleichung eine Gerade formt, die den 2. und 4. Quadranten schneidet, was bedeutet, daß an jeder Stelle der Gleichung für ein x ein y existiert, mit dem ein Ergebnis erzielt werden kann. Da es sich um eine Gerade handelt, gibt es unendlich viele Lösungen.

Wäre sowas akzeptierbar?

Übrigens wäre die Mitternachtsformel nur anwendbar, wenn es sich um Parabeln handeln würde, damit man Ableitungen der Gleichungen vornehmen kann.

[Der Kleine]

Eine Gegenüberstellung von x und y (ineinander aufgelöst) zeigt:

(300-39y) / 11 = (300 - 11x) / 39

3300 - 429y = 11700 - 429x

8400 = 0

-> Da die Gleichung nicht lösbar ist, muß es mehr entweder keine oder mehrere Lösungen der Gleichung geben, da man durch simples Einsetzen sehen kann, daß es wohl mindestens eine gibt, ist Letzteres zutreffend.

Das ist aber mal falsch. Betrachtet man die Aufgabenstellung der Existenz ganzer Zahlen, so ist wohl nur eine ganzzahlige Lösung einer Gleichung mit zwei unbekannten vorstellbar.

Im Bereich der reelen Zahlen stellt die Ebene dar, welche die Nullinie schneiden soll. Damit ist die Schnittmenge entweder leer (bei einer zur Nullebene parallelen Ebene) oder eine Gerade mit entsprechend unendlich vielen reelen Lösungen (aber keineswegs unbedingt ganzzahligen Lösungen)

[geloescht_JesterDay]

Noe, es muss nicht x=y sein, aber es ist die Loesung auf die man mit Kopfrechnen kommt.

Zweifelt ja auch keiner daran, dass es mehrere Lösungen gibt. Aber die nach der Aufgabenstellung richtige Lösung ist nur die mit x=y, das meinte ich.

[twanka]

(a) Wenn es eine Lösung gibt, dann gibt es unendlich viele, denn:

wenn x = 300/11 - 39y/11 ganzhalig in x und y ist, dann ist auch

x1 = 300/11 - (39*(y+11))/11 ganzzahlig und

x2 = 300/11 - (39*(y-11))/11 ganzzahlig

Beweis (wer's braucht):

x1 = 300/11 - (39*y +39*11)/11 = 300/11 - 39*y/11 - 39*11/11 = x - 39.

Da x als ganzzahlig vorausgesetzt war, ist auch x1 ganzzahlig. Für x2 schreibt sich's analog.

( aus (a) folgt, dass zwei korrekte Lösungen für y höchstens um 11 auseinanderliegen (vorausgesetzt es gibt welche). Man muss also nur für y zehn aufeinanderfolgende ganze Zahlen einsetzen, um festzustellen, ob es eine Lösung gibt. Wenn man eine gefunden hat, kann man beliebige vielfache von 11 abziehen oder hinzuzählen, und den Wert für x einfach durch einsetzen ausrechnen.

[Crush]

Das Problem ist dann die Aufgabenstellung, weil es mehrere Lösungen mit ganzen Zahlen gibt, deshalb ist die Aufgabe an sich schon falsch.

[geloescht_JesterDay]

wenn x = 300/11 - 39y/11 ...

Beweis (wer's braucht):

x1 = 300/11 - (39*y +39*11)/11 ...

Woher kommt den bitte das 39*11?

[twanka]

Es geht nur darum, eine weitere ganzzahlige Lösung zu konstruieren, und um sicherzugehen, dass eine ganze Zahl rauskommt, wenn man durch 11 teilt, nimmt man eben irgend ein geeignetes vielfaches von 11. Das "kommt" also nicht irgendwo her, sondern ist so ein mathematischer Trick ...

;-)